TEMATICA 1

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

USOS Y APLICACIONES

DEFINICION

Las Funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triangulo rectángulo asociado a sus ángulos. 

Existen seis funciones trigonométricas básicas.

Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:

• La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
• El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar.
• El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo del que queremos determinar.

Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para angulos de este rango

1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo α , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.

2) El coseno de un ángulo la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

3) La tangente de un es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

COMO OBTENER LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS

TEOREMA DEL SENO Y TEOREMA DEL COSENO

Para resolver específicamente TRIÁNGULOS OBLICUÁNCULOS, son utilizados los teoremas del seno y del coseno, los cuales a continuación serán desarrollados y pertenecen a la ya mencionada “trigonometría plana”…

Teorema del seno
Teorema del coseno	a2 = b2 + c2 - 2 b c Cos A b2 = a2 + c2 - 2 a c Cos B c2 = a2 + b2 - 2 a b Cos C

Teniendo además siempre en cuenta que:

La suma de los ángulos interiores de un triángulo

A + B + C = 180º

EJEMPLOS:

CASO	DATOS CONOCIDOS	INCÓGNITAS
I	Los tres lados: a, b, c	Los tres ángulos A, B, C
II	Un lado y los ángulos adyacentes: a, B, C	Dos lados y un ángulo: b, c, A
III	Dos lados y el ángulo formado: a, b, C	Un lado y dos ángulos: c, A, B
IV	Dos lados y el ángulo opuesto	Un lado y dos ángulos: c, B, C

Resoluciones:

CASO I

La solución trigonométrica de A, B y C se obtiene calculando en el siguiente orden:

1º  Aplicando el teorema del coseno para calcular A y luego B

2º Aplicando la relación de la suma de ángulos se calcula C:

CASO II

La única limitación es que los dos ángulos tienen que sumar menos de 180º  (B + C < 180º) para que sea posible la construcción.

En la escena los parámetros son a, B y C que inicialmente tiene el valor a = 10, B = 45º, C = 76º.

La solución trigonométrica se consigue aplicando el  siguiente orden a las  propiedades: 

1º Suma de los ángulos B + C para determinar A 

2º  Teorema del Seno para determinar sucesivamente los lados b y c.

CASO III

La solución trigonométrica se consigue aplicando en el mismo orden las siguientes propiedades: 

1º Teorema del coseno para calcular el lado c,

2º Teorema del seno para calcular el ángulo A 

3º Una vez conocidos A y C, la propiedad de la suma de los tres ángulos para calcular B.

CASO IV

Este caso es el más complejo ya que se pueden dar tres situaciones:

• No existe triángulo
• Existe un triángulo
• Existen dos triángulos.

Suponemos conocidos los lados a y b y el ángulo A opuesto al lado a.  

La solución trigonométrica se consigue aplicando las siguientes propiedades en el mismo orden:

1º  Teorema del seno para calcular el ángulo B

2º La propiedad de la suma de los tres ángulos para calcular C 

3º  Nuevamente el Teorema del seno para calcular el lado c

TEOREMA DEL SENO

TEOREMA DEL COSENO

VERSION DESCARGABLE

He puesto a su disposición una versión imprimible del contenido aquí estudiado, la cual puede leer online o descargarla a su computador, dando clic en el siguiente link: 

PERIODICO MATEMATICO EDICION N° 1

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CRUCIGRAMA

SOPA DE LETRAS

PAREJAS

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